Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 4}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} + 4 d x)$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\int x^{2} d x + \int 4 d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 d x)$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 x + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + 4 x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - 4 (\frac{1}{3}) x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4.2

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4.3

$\frac{- 4}{3}$ e $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4 x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{4 x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9}) + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{9}$ nel numeratore.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{9} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 x}{3}$ nel numeratore.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $- 4 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x \cdot \frac{3}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 4 x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $x$ da $- x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Scomponi $x$ da $x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K}$

Passaggio 3.4.4

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

$3 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + \frac{3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12) + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.3

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x^{1}) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{2 + 1} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.6.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$ come $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.9.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Passaggio 3.4.9.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3}$ come $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.9.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.9.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.9.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.9.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.9.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Passaggio 3.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ come $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Passaggio 3.4.10.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Passaggio 3.4.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$

Passaggio 3.4.11.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + 9 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + K)}}{3}$