Calcolo Esempi

$(x^{2} - y^{2}) d x + x (y d) y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Passaggio 1.4

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 y = y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 y = y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x y$ a $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $y$ da $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} - y^{2}) d x + x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

$y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

$\frac{1}{2 x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.10

$- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.11

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.12

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Espandi $(- x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.8

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.2

Sottrai $y x$ da $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.2.2

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.3

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \ln (| x |) + C$