Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 - y)}^{2}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 - y)}^{2}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(2 - y)}^{2}}{{(2 - y)}^{2} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(2 - y)}^{2}}{{(2 - y)}^{2} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 2 - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 2 - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ come $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.6.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 1 + x$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 + x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.3

Moltiplica ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 - y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$2 - y, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 - y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 - y$ ciascun termine in $\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 - y} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K$ per $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - y) + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (- y) + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = 2 \cdot {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (- y) + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 \cdot {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + K (2 - y)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Passaggio 3.2.3.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Passaggio 3.2.3.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 K - K y$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1$ .

$2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + 2 K - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $2 K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) - K y = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $y$ da $- K y$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) + y (- K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) + y (- K)$ .

$y (- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $- 1 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ come $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$

Passaggio 3.3.5

Dividi per $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K$ ciascun termine in $y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Dividi per $- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K$ ciascun termine in $y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K) = 1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - 2 K$ .

$\frac{y (- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K)}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Passaggio 3.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Passaggio 3.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} + \frac{- 2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Passaggio 3.3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K} - \frac{2 K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1 - 2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K} - \frac{K}{- {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} + K}$