Calcolo Esempi

$(1 + 2 y) d x + (4 - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + 2 y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(4 - x^{2}) d y = - (1 + 2 y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $1 + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $1 + 2 y$ da $(4 - x^{2}) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{2^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 3.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 1 + 2 y$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 4.2.1.1.4

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $2 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.1.2

Dividi $(A) (2 - x)$ per $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5.2

Dividi $(B) (2 + x)$ per $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Passaggio 4.3.2.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Passaggio 4.3.2.1.6.7

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.3

Sposta $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Passaggio 4.3.2.1.7.4

Sposta $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.3.1.3

Somma $A$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $A$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = 2 A + 2 B$ con $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1

Somma $2 A$ e $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.3

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.3.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Passaggio 4.3.2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $B = A$ con $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2 - x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Passaggio 4.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.5

Sia $u_{2} = 2 + x$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sia $u_{2} = 2 + x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Differenzia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Passaggio 4.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x)$

Passaggio 4.3.8

Sia $u_{3} = 2 - x$ . Allora $d u_{3} = - d x$ , quindi $- d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Sia $u_{3} = 2 - x$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.8.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Passaggio 4.3.11

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Passaggio 4.3.12

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.14.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 2 + x |) - \ln (| 2 - x |)}{4} + C_{4}$

Passaggio 4.3.14.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + 4 C}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.5.1

Scomponi $- 1$ da $- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) + 4 C}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.2

Scomponi $- 1$ da $4 C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.5.4.1

Riscrivi $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ come $- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} = | 1 + 2 y |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Passaggio 5.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} - 1$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Dividi la frazione $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ in due frazioni.

$2 y = \pm e^{- (\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2} + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.2.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$2 y = \pm e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$2 y = \pm e^{- (\ln ({(\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 4 C$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 (1)})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 \cdot 1})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{1})} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.2.4.2.4

Dividi $- 2 C$ per $1$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - 2 C)} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - (- 2 C)} - 1$

Passaggio 5.5.3.2.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$

Passaggio 5.5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1}{2}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C} - 1}{2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C}$ come $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C} - 1}{2}$

Passaggio 6.3

Riordina $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$

Passaggio 6.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$