Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.4

$\frac{2 x + 1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ per $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = (x + 1) x$ . Allora $d u = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = (x + 1) x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + 1 + x$

Passaggio 2.2.2.1.3.6.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$(x + 1) x$

Passaggio 2.5

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + 1 x$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} + x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ per $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $x^{2} + x$ per $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.6

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.6.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.6.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.8

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.8.2

Dividi $(2 x + 1) y$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.9

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x^{2} + x$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Passaggio 3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Passaggio 3.4

Combina i termini opposti in $x^{2} + x - x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Passaggio 3.4.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 7.3

Applica la regola costante.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2} + x$ ciascun termine in $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2} + x$ ciascun termine in $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.4

Combina.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3} \cdot 1$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.2.1

Scomponi $x$ da $3 (x (x + 1))$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.7

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.7.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.7.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.7.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Passaggio 8.3.1.10

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Passaggio 8.3.1.10.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Passaggio 8.3.1.10.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.2

Per scrivere $- \frac{1}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.3.2

Riordina i fattori di $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.6

Per scrivere $\frac{C}{x (x + 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 8.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Moltiplica $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 8.3.7.2

Moltiplica $\frac{C}{x (x + 1)}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Passaggio 8.3.7.3

Riordina i fattori di $3 (x + 1) x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Passaggio 8.3.7.4

Riordina i fattori di $x (x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.9.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Passaggio 8.3.9.3

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$