Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x - 2 y}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{- 2 y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2 y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 2}{x}) = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2}{x} y = \frac{x}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{- 2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{- 2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{- 2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (- \frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (\frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.3

$y$ e $\frac{2}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{y \cdot 2}{x}) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y \cdot 2}{x}$ nel numeratore.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- y \cdot 2) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- 2 y) = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{x}{x}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{3} x$ per $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$