Calcolo Esempi

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 2 = 0$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x + 2 = 0$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x y + 2 y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x y + 2 y$ a $M$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $- (- 2 x - 2)$ da $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2$ da $- 2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $2 y$ da $2 x y + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $2 y$ da $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $- x - 1$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.4

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Passaggio 4.3.5.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $2 x y + 2 y$ a $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x y + 2 y$ per $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2 x y + 2 y$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $2 y$ da $2 x y + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2 y$ da $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Dividi $2 (x + 1)$ per $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- y$ per $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.8

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Elimina il fattore comune.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - 1$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Passaggio 11.3

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $2 x + 2$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Passaggio 12.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Passaggio 12.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Passaggio 12.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 12.6

Applica la regola costante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Passaggio 12.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Passaggio 12.8

Semplifica.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$