Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Combina.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{3}$ nel numeratore.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.4

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

$3 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.6.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.6.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.9.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.9.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.9.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.9.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.9.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.9.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.9.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.10.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 3.4.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.4.11.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$