Calcolo Esempi

$(1 + y^{2}) \cdot d x + x y \cdot d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + y^{2}) \cdot d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y \cdot d y = - (1 + y^{2}) \cdot d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x (y)) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (1 + y^{2})}$ nel numeratore.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $1 + y^{2}$ da $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x} \cdot d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x} \cdot d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | x^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.4.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| 1 + y^{2} | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |)} = e^{2 C}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = x^{2} | 1 + y^{2} |$

Passaggio 5.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ .

$x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$

Passaggio 5.7.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ .

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

Dividi $| 1 + y^{2} |$ per $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.7.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

Passaggio 5.7.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$