Calcolo Esempi

$e^{- y} \cos (x) - \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Sottrai $e^{- y} \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{d y}{d x} = - e^{- y} \cos (x)$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d y}{d x} = - e^{- y} \cos (x)$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d y}{d x} = - e^{- y} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x}}{- 1} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \cos (x)}{1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $e^{- y} \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \cos (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \cos (x))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $e^{- y} \cos (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\cos (x)))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = \sin (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\sin (x) + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\sin (x) + K)$