Calcolo Esempi

$x e^{y} d y + \frac{x^{2} - 1}{y} d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2} - 1}{y} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} - 1}{y} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} - 1}{y}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} - 1}{y}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} - 1}{y}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} - 1}{y}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{y} d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x}$ nel numeratore.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{y} d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{y} d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{y} d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.5

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y e^{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$y e^{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y e^{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Riordina i termini.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

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Passaggio 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$