Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- 4 x y^{2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Passaggio 1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y^{2}} (x y^{2})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - 2 x^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - 2 x^{2} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = - 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = - 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{2} y + K y = - 1$ .

$- 2 x^{2} y + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $- 2 x^{2} y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 x^{2} y$ .

$y (- 2 x^{2}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (- 2 x^{2}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 2 x^{2}) + y K$ .

$y (- 2 x^{2} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 2 x^{2} + K$ ciascun termine in $y (- 2 x^{2} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 2 x^{2} + K$ ciascun termine in $y (- 2 x^{2} + K) = - 1$ .

$\frac{y (- 2 x^{2} + K)}{- 2 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 2 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2 x^{2} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- 2 x^{2} + K)}{- 2 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 2 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 2 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{- 2 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = - \frac{1}{- (2 x^{2}) + K}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = - \frac{1}{- (2 x^{2}) - 1 (- K)}$

Passaggio 3.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (2 x^{2} - K)}$

Passaggio 3.3.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.5.1

Riscrivi $- (2 x^{2} - K)$ come $- 1 (2 x^{2} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (2 x^{2} - K)}$

Passaggio 3.3.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{1}{2 x^{2} - K}$

Passaggio 3.3.3.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{2 x^{2} - K}$

Passaggio 3.3.3.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{2} - K}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2 x^{2} - K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1}{2 x^{2} + K}$