Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sin (x + 5)}{y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \sin (x + 5)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \sin (x + 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \sin (x + 5) d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \sin (x + 5) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (x + 5) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x + 5$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $\cos (u)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (x + 5) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \cos (x + 5) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \cos (x + 5) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 \cos (x + 5) + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 \cos (x + 5) + 2 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (x + 5)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (\cos (x + 5)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$