Calcolo Esempi

$y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $x = e^{r y}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Passaggio 2.5

Scomponi $e^{r y}$ da $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y r^{2} = y^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y r^{2} = y^{2} + 1$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $r^{2}$ per $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3.1.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.1.3.1.2.5

Dividi $y$ per $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per scrivere $y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Passaggio 3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $y$ per $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ come $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Passaggio 3.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Passaggio 3.3.6.2

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Passaggio 3.3.6.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Passaggio 3.3.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Passaggio 3.3.6.6.5

Semplifica.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Passaggio 3.3.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Passaggio 3.3.8

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 6.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ nel numeratore.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$