Calcolo Esempi

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (1 + 2 x \tan (y))$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x \tan (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Passaggio 2.6

Poiché $2 \tan (y)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \tan (y)$ rispetto a $x$ è $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 \tan (y)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = - 2 \tan (y)$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = - 2 \tan (y)$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 \tan (y)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $M$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $- 2 \tan (y) + 0$ per $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

$- 2 \tan (y)$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\tan (y)$ rispetto a $y$ è $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| \sec (y) |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Passaggio 5.4.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Passaggio 5.4.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Passaggio 5.4.6

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ come ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Passaggio 5.4.7

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Passaggio 5.4.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Passaggio 5.4.9

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Passaggio 6

Moltiplica $1$ per $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos^{2} (y) x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\cos^{2} (y) x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3.3

La derivata di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $2 x \cos (y) \sin (y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ e $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ e $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Passaggio 12.1.2.3

Somma $- \cos^{2} (y)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- \cos^{2} (y)$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Passaggio 13.4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (y)$ come $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Passaggio 13.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Passaggio 13.6

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Passaggio 13.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Passaggio 13.8

Applica la regola costante.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Passaggio 13.9

Sia $u = 2 y$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Sia $u = 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 13.9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 13.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 13.10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 13.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13.12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13.13

Semplifica.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 13.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Passaggio 13.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Passaggio 13.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Passaggio 13.15.3

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Passaggio 13.15.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.15.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (2 y)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 13.15.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Passaggio 13.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.16.1

Riordina i termini.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Passaggio 13.16.2

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Passaggio 13.16.3

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Passaggio 15.1.2

$\sin (2 y)$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$