Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d t} = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d r = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d r = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$r + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = \tan (t) + 1$ . Allora $d u = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = \tan (t) + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\tan (t) + 1$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t) + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (t) + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t) + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\sec^{2} (t) + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $\sec^{2} (t)$ e $0$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$r + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$r + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (t) + 1$ .

$r + C_{1} = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$r = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C$