Calcolo Esempi

$y^{3} d x + 3 x y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x y^{2} d y = - y^{3} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y^{3}}$ .

$\frac{1}{x y^{3}} (3 x y^{2}) d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{x y^{3}} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3.2

$3$ e $\frac{1}{x y^{3}}$ .

$\frac{3}{x y^{3}} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x y^{2}$ da $x y^{3}$ .

$\frac{3}{x y^{2} (y)} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{x y^{2} y} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y^{3}} (- y^{3}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y^{3}} y^{3} d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y^{3}} y^{3} d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y^{3}$ da $x y^{3}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y^{3} x} y^{3} d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y^{3} x} y^{3} d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $| x |$ ciascun termine in ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $| x |$ ciascun termine in ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi ${| y |}^{3}$ per $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ come $| x |$ .

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Passaggio 5.5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{| x |}$ come ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.5.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5

Semplifica.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Passaggio 5.5.4.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Passaggio 5.5.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Passaggio 5.5.4.6

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Passaggio 5.5.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Passaggio 5.5.6

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$