Calcolo Esempi

$(x - 1) d y + (y - 2) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(y - 2) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x - 1) d y = - (y - 2) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x - 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (x - 1) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (- (y - 2)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (x - 1) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (- (y - 2)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (- (y - 2)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 2)} (y - 2) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x - 1) (y - 2)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 2)} (y - 2) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y - 2$ da $(x - 1) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 1}{(y - 2) (x - 1)} (y - 2) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 1}{(y - 2) (x - 1)} (y - 2) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 1}{x - 1} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = y - 2$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = y - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y - 2 |) + \ln (| x - 1 |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y - 2 | | x - 1 |) = C$

Passaggio 5.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (y - 2) (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.4

Espandi $(y - 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y (x - 1) - 2 (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 1 - 2 (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\ln (| y x - 1 \cdot y - 2 x - 2 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\ln (| y x - y - 2 x - 2 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\ln (| y x - y - 2 x + 2 |) = C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x - y - 2 x + 2 |)} = e^{C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (| y x - y - 2 x + 2 |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - y - 2 x + 2 |$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $| y x - y - 2 x + 2 | = e^{C}$ .

$| y x - y - 2 x + 2 | = e^{C}$

Passaggio 5.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x - y - 2 x + 2 = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.8.3.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y + 2 = \pm e^{C} + 2 x$

Passaggio 5.8.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = \pm e^{C} + 2 x - 2$

Passaggio 5.8.4

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = \pm e^{C} + 2 x - 2$

Passaggio 5.8.4.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = \pm e^{C} + 2 x - 2$

Passaggio 5.8.4.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = \pm e^{C} + 2 x - 2$

Passaggio 5.8.5

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = \pm e^{C} + 2 x - 2$ e semplifica.

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Passaggio 5.8.5.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = \pm e^{C} + 2 x - 2$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Passaggio 5.8.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Passaggio 5.8.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Passaggio 5.8.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1}$

Passaggio 5.8.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} + 2 x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1}$

Passaggio 5.8.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} + 2 x - 2}{x - 1}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C + 2 x - 2}{x - 1}$