Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y - 2) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) + x^{2} \cdot - 2 = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y + x^{2} \cdot - 2 = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $3 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 2 x^{2} = - 3 x^{2} y$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $2 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} y + 2 x^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{2} y + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y) + 2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y) + x^{2} \cdot 2$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (- 3 y) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (- 3 y + 2)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- 3 y + 2}$ .

$\frac{1}{- 3 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 2} (x^{2} (- 3 y + 2))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $- 3 y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $- 3 y + 2$ da $x^{2} (- 3 y + 2)$ .

$\frac{1}{- 3 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 2} ((- 3 y + 2) x^{2})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 3 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 y + 2} ((- 3 y + 2) x^{2})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 3 y + 2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- 3 y + 2} d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- 3 y + 2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = - 3 y + 2$ . Allora $d u = - 3 d y$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = - 3 y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $- 3 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y + 2]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- 3 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $- 3$ e $0$ .

$- 3$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 y + 2$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 2 |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 2 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 2 |)) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - 3 y + 2 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\ln (| - 3 y + 2 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| - 3 y + 2 |)}{3}) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| - 3 y + 2 |)}{3}$ nel numeratore.

$- 3 \frac{- \ln (| - 3 y + 2 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| - 3 y + 2 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 3 y + 2 |)}{3} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| - 3 y + 2 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| - 3 y + 2 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| - 3 y + 2 |)$ per $1$ .

$\ln (| - 3 y + 2 |) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (| - 3 y + 2 |) = - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - 3 y + 2 |) = - 3 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\ln (| - 3 y + 2 |) = 3 (- 1) \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| - 3 y + 2 |) = 3 \cdot - 1 \frac{x^{3}}{3} - 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| - 3 y + 2 |) = - x^{3} - 3 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| - 3 y + 2 |)} = e^{- x^{3} - 3 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| - 3 y + 2 |) = - x^{3} - 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{3} - 3 C} = | - 3 y + 2 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| - 3 y + 2 | = e^{- x^{3} - 3 C}$ .

$| - 3 y + 2 | = e^{- x^{3} - 3 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- 3 y + 2 = \pm e^{- x^{3} - 3 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 2$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \pm e^{- x^{3} - 3 C} - 2$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 3.5.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C}}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 3.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} - 3 C} + 2}{3}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{- x^{3} + C} + 2}{3}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- x^{3} + C}$ come $e^{- x^{3}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{3}} e^{C} + 2}{3}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- x^{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- x^{3}} + 2}{3}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{- x^{3}} + 2}{3}$