Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{2 x}}{4 y^{3}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{2 x}}{4 y^{3}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $4 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{2 x}}{y^{3} \cdot 4}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{2 x}}{y^{3} \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{2 x}}{4}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{3} d y = \frac{e^{2 x}}{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{3} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{8} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{8} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{8} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{8} e^{2 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{8} e^{2 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{8} e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{8} e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{8} e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{8} e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $4 (\frac{1}{8} e^{2 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{8}$ e $e^{2 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{2 x}}{8} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{4} = 4 \frac{e^{2 x}}{8} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y^{4} = 4 \frac{e^{2 x}}{4 (2)} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{4} = 4 \frac{e^{2 x}}{4 \cdot 2} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = \frac{e^{2 x}}{2} + 4 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x}}{2} + 4 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x}}{2} + 4 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $4 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x}}{2} + 4 K \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4.2

$4 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{4 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x} + 4 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{e^{2 x} + 8 K}{2}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{e^{2 x} + 8 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K}}{\sqrt[4]{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K}}{\sqrt[4]{2}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K}}{\sqrt[4]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K}}{\sqrt[4]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K}}{\sqrt[4]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{\sqrt[4]{2} {\sqrt[4]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.7.2

Eleva $\sqrt[4]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{1} {\sqrt[4]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{1 + 3}}$

Passaggio 3.4.7.4

Somma $1$ e $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{{\sqrt[4]{2}}^{4}}$

Passaggio 3.4.7.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{2}}^{4}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{2}$ come $2^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{{(2^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 3.4.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{2^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 3.4.7.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{2^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 3.4.7.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{2^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 3.4.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.7.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} {\sqrt[4]{2}}^{3}}{2}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{2}}^{3}$ come $\sqrt[4]{2^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} \sqrt[4]{2^{3}}}{2}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{e^{2 x} + 8 K} \sqrt[4]{8}}{2}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(e^{2 x} + 8 K) \cdot 8}}{2}$

Passaggio 3.4.9.2

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt[4]{(e^{2 x} + 8 K) \cdot 8}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + 8 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{8 (e^{2 x} + K)}}{2}$