Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - x \sqrt{y} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $x \sqrt{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $\sqrt{y}$ da $x \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} x)$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} x)$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Combina.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ come $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{4} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Combina.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Combina.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6

Combina.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.2

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.3

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $\frac{x^{2} K}{8}$ e $\frac{K x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Riordina $x^{2}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $\frac{K x^{2}}{8}$ e $\frac{K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$