Calcolo Esempi

$(x + 2 y) d x + (2 x + 3 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 = 2$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 = 2$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 2 y d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = x + 2 y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x d x + \int 2 y d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 y d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 y x + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x + 3 y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.2.2

Poiché $\frac{1}{2} x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y x$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x + 3 y$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x + 3 y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x + 3 y - 2 x$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $2 x + 3 y - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $3 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $3 y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 3 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y d y$

Passaggio 10.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 3 \int y d y$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{3}{2} y^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + \frac{3}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x + \frac{3}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12.2

$\frac{3}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x + \frac{3 y^{2}}{2} + C$