Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

Passaggio 1.1.3.1.2.5

Dividi $- 4 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$