Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{d y}{d x} = - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Passaggio 1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 1.4.2

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 1.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{1})$

Passaggio 1.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{1})$

Passaggio 1.6.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1})$

Passaggio 1.6.2

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{1}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1}$

Passaggio 1.6.3.2

$3$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Passaggio 1.6.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Passaggio 1.6.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{2} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + C_{2} = \int x^{- 3} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Semplifica.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.6

Riordina i termini.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x^{2}} + D$