Calcolo Esempi

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{20 - t} Q = 4$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{2}{20 - t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{20 - t} d t}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{20 - t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - t} d t}$

Passaggio 1.2.2

Sia $u = 20 - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = 20 - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Passaggio 1.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $20 - t$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - t |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (20 - t)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(20 - t)}^{- 2})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(20 - t)}^{- 2}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \frac{d Q}{d t} + \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} (\frac{2}{20 - t} Q) = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ e $\frac{d Q}{d t}$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} (\frac{2}{20 - t} Q) = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2.2

$\frac{2}{20 - t}$ e $Q$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot \frac{2 Q}{20 - t} = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot \frac{2 Q}{20 - t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ per $\frac{2 Q}{20 - t}$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{2 Q}{{(20 - t)}^{2} (20 - t)} = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica ${(20 - t)}^{2}$ per $20 - t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica ${(20 - t)}^{2}$ per $20 - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1

Eleva $20 - t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{2 Q}{{(20 - t)}^{2} {(20 - t)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{2 Q}{{(20 - t)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.2.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{2 Q}{{(20 - t)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} \cdot 4$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{\frac{d Q}{d t}}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{2 Q}{{(20 - t)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - t)}^{2}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q] = \frac{4}{{(20 - t)}^{2}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q] d t = \int \frac{4}{{(20 - t)}^{2}} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = \int \frac{4}{{(20 - t)}^{2}} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = 4 \int \frac{1}{{(20 - t)}^{2}} d t$

Passaggio 6.2

Sia $u = 20 - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = 20 - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 6.5.2

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 6.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Riscrivi $- 4 (- u^{- 1} + C)$ come $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 6.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = 4 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 6.7.2.2

$4$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = \frac{4}{u} + C$

Passaggio 6.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $20 - t$ .

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q = \frac{4}{20 - t} + C$

Passaggio 7

Risolvi per $Q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sottrai $\frac{4}{20 - t}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q - \frac{4}{20 - t} = C$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}} Q - \frac{4}{20 - t} - C = 0$

Passaggio 7.1.3

$\frac{1}{{(20 - t)}^{2}}$ e $Q$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4}{20 - t} - C = 0$

Passaggio 7.1.4

Per scrivere $- \frac{4}{20 - t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{20 - t}{20 - t}$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4}{20 - t} \cdot \frac{20 - t}{20 - t} - C = 0$

Passaggio 7.1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(20 - t)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Moltiplica $\frac{4}{20 - t}$ per $\frac{20 - t}{20 - t}$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4 (20 - t)}{(20 - t) (20 - t)} - C = 0$

Passaggio 7.1.5.2

Eleva $20 - t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4 (20 - t)}{{(20 - t)}^{1} (20 - t)} - C = 0$

Passaggio 7.1.5.3

Eleva $20 - t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4 (20 - t)}{{(20 - t)}^{1} {(20 - t)}^{1}} - C = 0$

Passaggio 7.1.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4 (20 - t)}{{(20 - t)}^{1 + 1}} - C = 0$

Passaggio 7.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{Q}{{(20 - t)}^{2}} - \frac{4 (20 - t)}{{(20 - t)}^{2}} - C = 0$

Passaggio 7.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{Q - 4 (20 - t)}{{(20 - t)}^{2}} - C = 0$

Passaggio 7.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{Q - 4 \cdot 20 - 4 (- t)}{{(20 - t)}^{2}} - C = 0$

Passaggio 7.1.7.2

Moltiplica $- 4$ per $20$ .

$\frac{Q - 80 - 4 (- t)}{{(20 - t)}^{2}} - C = 0$

Passaggio 7.1.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t}{{(20 - t)}^{2}} - C = 0$

Passaggio 7.1.8

Per scrivere $- C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(20 - t)}^{2}}{{(20 - t)}^{2}}$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t}{{(20 - t)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - t)}^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.9

$- C$ e $\frac{{(20 - t)}^{2}}{{(20 - t)}^{2}}$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t}{{(20 - t)}^{2}} + \frac{- C {(20 - t)}^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C {(20 - t)}^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.1

Riscrivi ${(20 - t)}^{2}$ come $(20 - t) (20 - t)$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C ((20 - t) (20 - t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.2

Espandi $(20 - t) (20 - t)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (20 (20 - t) - t (20 - t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (20 \cdot 20 + 20 (- t) - t (20 - t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (20 \cdot 20 + 20 (- t) - t \cdot 20 - t (- t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.3.1.1

Moltiplica $20$ per $20$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 + 20 (- t) - t \cdot 20 - t (- t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - t \cdot 20 - t (- t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.3

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t - t (- t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t - 1 \cdot - 1 t \cdot t)}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.3.1.5.1

Sposta $t$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t - 1 \cdot - 1 (t \cdot t))}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t - 1 \cdot - 1 t^{2})}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t + 1 t^{2})}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.1.7

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 20 t - 20 t + t^{2})}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.3.2

Sottrai $20 t$ da $- 20 t$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - C (400 - 40 t + t^{2})}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{Q - 80 + 4 t - C \cdot 400 - C (- 40 t) - C t^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.5.1

Moltiplica $400$ per $- 1$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - 400 C - C (- 40 t) - C t^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{Q - 80 + 4 t - 400 C - 1 \cdot - 40 C t - C t^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.1.11.6

Moltiplica $- 1$ per $- 40$ .

$\frac{Q - 80 + 4 t - 400 C + 40 C t - C t^{2}}{{(20 - t)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$Q - 80 + 4 t - 400 C + 40 C t - C t^{2} = 0$

Passaggio 7.3

Sposta tutti i termini non contenenti $Q$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Somma $80$ a entrambi i lati dell'equazione.

$Q + 4 t - 400 C + 40 C t - C t^{2} = 80$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $4 t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$Q - 400 C + 40 C t - C t^{2} = 80 - 4 t$

Passaggio 7.3.3

Somma $400 C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$Q + 40 C t - C t^{2} = 80 - 4 t + 400 C$

Passaggio 7.3.4

Sottrai $40 C t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$Q - C t^{2} = 80 - 4 t + 400 C - 40 C t$

Passaggio 7.3.5

Somma $C t^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$Q = 80 - 4 t + 400 C - 40 C t + C t^{2}$