Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (t)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$t$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{t}$ e $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Passaggio 3.4

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$t y = 1 t^{3} + C$

Passaggio 7.3.2.3

Moltiplica $t^{3}$ per $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Passaggio 8

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = t^{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = t^{3} + C$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $t^{3}$ e $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 8.3.1.2.5

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $2$ e $y$ con $8$ in $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ .

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ .

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Passaggio 10.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $4$ da $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Passaggio 10.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Passaggio 10.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Passaggio 10.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$C = 2 \cdot 4$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$C = 8$

Passaggio 11

Sostituisci $8$ a $C$ in $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $8$ a $C$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$