Calcolo Esempi

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4

Sottrai $\frac{1}{x}$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Passaggio 4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{1}{y}$

Passaggio 4.3.6

$- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.2

Combina.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $y^{3} - \ln (x)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $y^{3} - \ln (x)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 8.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Passaggio 8.3.2

$\frac{1}{y}$ e $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 12.1.2.2

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 12.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 12.1.2.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 12.1.3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Passaggio 12.1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 12.1.3.2.2

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 12.1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 12.1.3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Passaggio 12.1.3.4

Sottrai $\frac{1}{x}$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 12.1.4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 12.1.4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ non è un'identità.

Passaggio 12.1.5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.1

Sostituisci $- \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 12.1.5.2

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Passaggio 12.1.5.3

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.3.1

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Passaggio 12.1.5.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.4

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{1}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.6

$- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 12.1.5.3.7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 12.1.5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 12.1.6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 12.1.6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 12.1.6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 12.1.6.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 12.1.6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 12.1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.6.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 12.1.6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 12.1.6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 12.1.6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 12.1.7

Moltiplica entrambi i lati di $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.7.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.2

Combina.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.7.3.1

Scomponi $y$ da $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.7.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 12.1.7.4

Moltiplica $y^{3} - \ln (x)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 12.1.7.5

Moltiplica $y^{3} - \ln (x)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 12.1.8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Passaggio 12.1.9

Integra $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.9.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 12.1.9.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 12.1.9.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.9.3.1

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Passaggio 12.1.9.3.2

$\frac{1}{y}$ e $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Passaggio 12.1.10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Passaggio 12.1.11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1

Semplifica $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.2.1

Per scrivere $g y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.2.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.2.3.1

Sposta $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.2.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.4

Moltiplica $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.12.1.4.1

Moltiplica $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.4.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.12.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.13

Moltiplica per $y^{2}$ ciascun termine in $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.13.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ per $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 12.1.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.13.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 12.1.13.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 12.1.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.13.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.13.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 12.1.13.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Passaggio 12.1.14

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Passaggio 12.1.15

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Passaggio 12.1.16

Riordina i fattori in $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- g y^{2} + y^{3}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Passaggio 13.2

Riscrivi.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Passaggio 13.3

Somma $0$ e $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Passaggio 13.4

Calcola $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Passaggio 13.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Passaggio 13.6

Poiché $- g$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- g$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Passaggio 13.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Passaggio 13.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.9

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.10

Semplifica.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.11

Semplifica.

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Passaggio 13.11.1

Riordina i termini.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.11.2

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.11.3

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1

$y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 15.2

$g$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$