Calcolo Esempi

$e^{- y} \sin (x) + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $e^{- y} \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - e^{- y} \sin (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (- e^{- y} \sin (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{- y}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $e^{- y}$ da $e^{- y} \sin (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (x)))$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \sin (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = - \sin (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = - \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = - (- \cos (x) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = - - \cos (x) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 1 \cos (x) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \cos (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = \cos (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\cos (x) + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\cos (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\cos (x) + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\cos (x) + K)$