Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y - 1 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{1}{x} + C}$ come $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{1}{x}} + 1$