Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $4 x^{3} y - y$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x^{4} - x + C}$ come $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x^{4} - x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $- 3$ in $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Passaggio 6.2.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C = - 3$

Passaggio 7

Sostituisci $- 3$ a $C$ in $y = C e^{x^{4} - x}$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $- 3$ a $C$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$