Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{3 x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} + V$

Passaggio 6.1.1.1.2

$3$ e $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} + V$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + V - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $\frac{3}{V} + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $\frac{3}{V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Moltiplica $\frac{3}{V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V x}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{V}{3}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} (\frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $\frac{3}{V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $V$ da $V x$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V (x)}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{V}{3} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{V}{3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $V$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V$ rispetto a $V$ è $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{6} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 (\frac{1}{6} V^{2}) = 6 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $6 (\frac{1}{6} V^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e $V^{2}$ .

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$V^{2} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V^{2} = 6 \ln (| x |) + 6 C$

Passaggio 6.3.3

Semplifica $6 \ln (| x |)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{6}) + 6 C$

Passaggio 6.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{6}) + 6 C}$

Passaggio 6.3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Passaggio 6.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Passaggio 6.3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Passaggio 6.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Passaggio 9.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$