Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 6$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $u$ da $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Passaggio 5

Poiché $u$ è negativa nella condizione iniziale $(0, - 6)$ , considera solo $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $t$ e $- 6$ a $u$ .

$- 6 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ come ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1.1

Somma $0$ e $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2.3

Moltiplica ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$K^{1} = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica.

$K = {(- 6)}^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$K = 36$

Passaggio 7

Sostituisci $36$ a $K$ in $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $36$ a $K$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 36}$