Calcolo Esempi

$2 x (1 + y^{2}) d x - y (1 + 2 x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 x (1 + y^{2}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y (1 + 2 x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $1 + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $1 + 2 x^{2}$ da $y (1 + 2 x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + 2 x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + 2 x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.3

$\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.6

$- 2$ e $\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $1 + y^{2}$ da $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.7.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + 2 x^{2}} x d x$

Passaggio 3.8

$\frac{- 2}{1 + 2 x^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + 2 x^{2}} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u_{2} = 1 + 2 x^{2}$ . Allora $d u_{2} = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u_{2} = 1 + 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Passaggio 4.3.4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 4 x$

Passaggio 4.3.4.1.4

Somma $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\ln (| 1 + y^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| 1 + y^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$\ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2)$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + 2 C)$

Passaggio 5.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Passaggio 5.2.2.1.6

Moltiplica $- - \ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Passaggio 5.2.2.1.6.2

Moltiplica $\ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Passaggio 5.2.2.1.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + 2 x^{2} |) = - 2 C$

Passaggio 5.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}) = - 2 C$

Passaggio 5.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}) = - 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}$

Passaggio 5.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} = e^{- 2 C}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica ogni lato per $| 1 + 2 x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} | 1 + 2 x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Elimina il fattore comune di $| 1 + 2 x^{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} | 1 + 2 x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Passaggio 5.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Passaggio 5.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.1

Riordina i fattori in $e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$

Passaggio 5.7.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$

Passaggio 5.7.4.3

Riordina i fattori in $\pm | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Passaggio 5.7.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} | - 1$

Passaggio 5.7.4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} | - 1}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + 2 x^{2} | - 1}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + 2 x^{2} | - 1}$