Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $r$ da $r θ + r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $r$ da $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Passaggio 1.1.2

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $r$ da $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $r$ da $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Passaggio 1.2

Scomponi $θ$ da $r θ + θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $θ$ da $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $θ$ da $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $θ$ da $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{r}{r + 1}$ per $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $r + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $r + 1$ da $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{r}$ rispetto a $r$ è $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{θ}$ rispetto a $θ$ è $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $θ$ con $1$ e $r$ con $e$ in $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.5

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.6

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.7

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.8

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Passaggio 4.9

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Passaggio 4.11

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Passaggio 4.12

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Passaggio 4.13

Poiché $C$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 1 - C + e = - 1$

Passaggio 4.14

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- C + e = - 1 + 1$

Passaggio 4.14.2

Sottrai $e$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- C = - 1 + 1 - e$

Passaggio 4.14.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$- C = 0 - e$

Passaggio 4.14.4

Sottrai $e$ da $0$ .

$- C = - e$

Passaggio 4.15

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- C = - e$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- C = - e$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Passaggio 4.15.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Passaggio 4.15.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Passaggio 4.15.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$C = \frac{e}{1}$

Passaggio 4.15.3.2

Dividi $e$ per $1$ .

$C = e$

Passaggio 5

Sostituisci $e$ a $C$ in $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $e$ a $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$