Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x - 1 |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x - 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x - 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x - 1 |$ .

$| y + 1 | = | x - 1 | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x - 1 | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x - 1 | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | x - 1 |$

Passaggio 3.5.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{C} | x - 1 | - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C | x - 1 | - 1$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x - 1 | - 1$