Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int d x)$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Passaggio 2.3.8.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Passaggio 2.3.8.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + K}$