Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + 2 \sqrt{V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

Passaggio 5.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $2 \sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $\sqrt{V}$ da $2 \sqrt{V}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Passaggio 5.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{V}$ come $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2

Sposta $V^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $V$ è $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Dividi $V^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Dividi $\ln (| x |)$ per $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Passaggio 5.3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riordina i fattori in ${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$