Calcolo Esempi

$(2 x^{2} y + 2 x) (\frac{d y}{d x}) + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $2 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2 x \frac{d y}{d x}$ da $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $2 x \frac{d y}{d x}$ da $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $2 x \frac{d y}{d x}$ da $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $2 x \frac{d y}{d x}$ da $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $2 x (x y + 1)$ ciascun termine in $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $2 x (x y + 1)$ ciascun termine in $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2.3

Elimina il fattore comune di $x y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Per scrivere $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x y + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.5

Scomponi $y$ da $- y^{2} x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.5.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6

Elimina il fattore comune di $- y x - 1$ e $x y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.4

Riscrivi $- (y x + 1)$ come $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.5

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Passaggio 1.1.4.3.6.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 1.1.4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.7.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Passaggio 1.1.4.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y x |) = C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (| y x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Passaggio 3.6.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C}$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{x}$