Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = e^{x}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = e^{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x e^{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x e^{x}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x e^{x}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x e^{x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Passaggio 7.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$x y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$y = e^{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = e^{x} - \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$