Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(1, 2)$ , considera solo $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $1$ a $x$ e $2$ a $y$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ come ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica aggiungendo gli zeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Somma $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Semplifica.

$K = 2^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$K = 4$

Passaggio 7

Sostituisci $4$ a $K$ in $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$