Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 4 x y = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 4 x$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 4 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $- 4 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.3.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 4}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{- 2}{1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$e^{- 2 x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 2 x^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 2 x^{2}}$ .

$e^{- 2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x^{2}} (- 4 x y) = e^{- 2 x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x^{2}} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 2 x^{2}} (x y) = e^{- 2 x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- 2 x^{2}}$ per $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 2 x^{2}} (x y) = 0$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- 2 x^{2}} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 2 x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{- 2 x^{2}} \frac{d y}{d x} - 4 x y e^{- 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{2}} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- 2 x^{2}} y = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{- 2 x^{2}} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- 2 x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- 2 x^{2}} y = C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- 2 x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- 2 x^{2}} y = C$ .

$\frac{e^{- 2 x^{2}} y}{e^{- 2 x^{2}}} = \frac{C}{e^{- 2 x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x^{2}}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 2 x^{2}} y}{e^{- 2 x^{2}}} = \frac{C}{e^{- 2 x^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- 2 x^{2}}}$