Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.4.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.4.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 7.4.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.5

Somma $2$ e $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Passaggio 8.4.2.1.4

Sposta $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.4.2.1.5

Riordina $x \ln (x^{2})$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$