Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $8 x y$ da $8 x^{3} y - 8 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $8 x y$ da $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $8 x y$ da $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $8 x y$ da $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Passaggio 1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Passaggio 1.3.2

$8$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Passaggio 1.3.7

Espandi $(x^{2} + x) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Passaggio 1.3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Passaggio 1.3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.8.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.3.8.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Passaggio 1.3.8.2

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Passaggio 1.3.8.3

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Passaggio 1.3.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$8$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

$- 8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ come $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$