Calcolo Esempi

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Passaggio 1.2

Poiché $e^{x^{3}}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ rispetto a $y$ è $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y - x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Passaggio 1.4

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Passaggio 1.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Passaggio 1.7

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 1.8

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 1.9.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x^{2} e^{x^{3}}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} e^{x^{3}}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = e^{x^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x^{3}} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{x^{3}} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 8.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Passaggio 9.1.1.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Passaggio 9.1.1.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 9.1.1.4.3

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Passaggio 9.1.2.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Sottrai $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ da $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Passaggio 9.1.2.2.2

Somma $- x^{2} e^{x^{3}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- x^{2} e^{x^{3}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 10.4

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Differenzia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Passaggio 10.4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 10.4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 10.4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 10.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 10.4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 10.4.1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 10.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 10.5

Applica la regola costante.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Passaggio 10.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Riscrivi $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ come $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Passaggio 10.6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$e^{x^{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.2

Sottrai $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ da $e^{x^{3}} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riordina $e^{x^{3}}$ e $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $y e^{x^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.2.3

$y e^{x^{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.3.2

Scomponi $e^{x^{3}}$ da $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Scomponi $e^{x^{3}}$ da $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.3.2.2

Scomponi $e^{x^{3}}$ da $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Passaggio 12.3.2.3

Scomponi $e^{x^{3}}$ da $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$