Calcolo Esempi

$y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (x + y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x + y + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \cdot 1$

Passaggio 1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Moltiplica $x + y + 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + x + y + 1$

Passaggio 1.3.8.2

Somma $y$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (x + 3 y + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 y + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Moltiplica $x + 3 y + 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 3 y + 2$

Passaggio 2.3.8.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y + 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x + 2 y + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 3 y + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x + 3 y + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x + 2 y + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y (x + y + 1)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y (x + y + 1)$ a $M$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - (2 y) - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{x + 3 y + 2 - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 y$ da $3 y$ .

$\frac{x + y + 2 - 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $y (x + y + 1)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | y | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y (x + y + 1)$ per $y$ .

$y (x + y + 1) y d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $y$ .

$y \cdot y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} x + y^{2} y + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y^{2} x + y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(y^{2} x + y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.4.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x (x + 3 y + 2)$ per $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) y d y = 0$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x \cdot x + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + x \cdot 2) y d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + 2 \cdot x) y d y = 0$

Passaggio 6.8

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 6.9

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Sposta $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 6.9.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x + y^{3} + y^{2} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = y^{2} x + y^{3} + y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int y^{2} x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 8.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 8.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Passaggio 8.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Passaggio 8.6

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + y^{2} x + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Passaggio 8.8

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.5

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.3.7.2

Dividi $x^{2} y$ per $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{3} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.5

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 11.7

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $3 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y + 0 - 3 y^{2} x - 2 x y$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $3 x y^{2} + 2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Passaggio 12.1.4.3

Riordina i fattori nei termini di $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Passaggio 12.1.4.4

Sottrai $3 y^{2} x$ da $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Passaggio 12.1.4.6

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Passaggio 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$