Calcolo Esempi

$2 x y d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} - 1$ da $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.4

$- 2$ e $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $y$ da $(x + 1) (x - 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

Passaggio 3.6

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = (x + 1) (x - 1)$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = (x + 1) (x - 1)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.4.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.3.4.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.3.4.1.3.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Passaggio 4.3.4.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Passaggio 4.3.4.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.4.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.3

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

Passaggio 5.4.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

Passaggio 5.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

Passaggio 5.6

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

Passaggio 5.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

Passaggio 5.7

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

Passaggio 5.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $| y x^{2} - y | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

Passaggio 5.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Scomponi $y$ da $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.3.3

Scomponi $y$ da $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.6

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.1

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ .

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.6.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.6.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$