Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{2 x + y - 1}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{2 x + y - 1}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{2 x + y - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + y - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

Passaggio 2.8

Somma $2 + y'$ e $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d v}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

Passaggio 5.1.1.2

Combina i termini opposti in $- 2 + v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

Passaggio 5.1.1.2.2

Somma $v$ e $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sposta $v^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v^{- 2}$ rispetto a $v$ è $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- v^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{v} = x + K$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 7.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$v, 1, 1$

Passaggio 7.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$v$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $v$ ciascun termine in $- \frac{1}{v} = x + K$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{v} = x + K$ per $v$ .

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x v + K v$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi l'equazione come $x v + K v = - 1$ .

$x v + K v = - 1$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $v$ da $x v + K v$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $v$ da $x v$ .

$v x + K v = - 1$

Passaggio 7.3.2.2

Scomponi $v$ da $K v$ .

$v x + v K = - 1$

Passaggio 7.3.2.3

Scomponi $v$ da $v x + v K$ .

$v (x + K) = - 1$

Passaggio 7.3.3

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $v (x + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $v (x + K) = - 1$ .

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- 1}{x + K}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - \frac{1}{x + K}$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{2 x + y - 1}$ .

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

Passaggio 9

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 9.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Passaggio 9.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Espandi $\ln (e^{2 x + y - 1})$ spostando $2 x + y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Passaggio 9.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $2 x + y - 1$ per $1$ .

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.3.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

Passaggio 9.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$