Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x + 2 y$

Passaggio 1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 2 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x e^{- 2 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x e^{- 2 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7.2.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7.5

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 7.6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 7.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Riscrivi $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ come $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 7.11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 7.11.2.2

$e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 7.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7.13

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 7.14

Riordina i termini.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 8.1.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 8.1.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ per $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Moltiplica $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ per $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$