Calcolo Esempi

$x^{2} (\frac{d y}{d x}) - 2 x y = x^{4} + 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = x^{4} + 3$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.4

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2} x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2 + 2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 7.2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 7.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 7.6.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + \frac{- 1}{x^{3}} + C$

Passaggio 7.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{2}} y = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} y - x = - \frac{1}{x^{3}} + C$

Passaggio 8.1.2

Somma $\frac{1}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} = C$

Passaggio 8.1.3

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.1.4

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - C = x$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $\frac{1}{x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{2}} - C = x - \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 8.2.3

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{2}} = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = x^{1} x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{1 + 2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = x^{3} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{3}}$ nel numeratore.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = x^{3} - \frac{1}{x} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.4

Sposta $- \frac{1}{x}$ .

$y = x^{3} + C x^{2} - \frac{1}{x}$