Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}{x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Completa il quadrato.

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Passaggio 2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Espandi $(1 + y) (1 - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - y) + y (1 - y)$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)$

Passaggio 2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Passaggio 2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Passaggio 2.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$1 - y + y \cdot 1 + y (- y)$

Passaggio 2.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$1 - y + y + y (- y)$

Passaggio 2.2.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - y + y - y \cdot y$

Passaggio 2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$1 - y + y - (y \cdot y)$

Passaggio 2.2.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 - y + y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$1 + 0 - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riordina $1$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 1$

Passaggio 2.2.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Passaggio 2.2.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.2.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.2.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 2.2.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.2.1.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 2.2.1.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 2.2.1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.2.1.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Passaggio 2.2.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 1 + 0$

Passaggio 2.2.1.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e = 1$

Passaggio 2.2.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(y + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 1}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = y + 0$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = y + 0$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 0$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Riordina $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 0$ .

$\arcsin (y + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Somma $y$ e $0$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arcsin (y) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$y = \sin (\ln (| x |) + C)$